ᠯᠣᠪᠠᠴᠧᠹᠰᠻᠢ ‍ᠢᠢᠨ ᠭᠧᠣᠮᠧᠲ᠋ᠧᠷ

ᠯᠣᠪᠠᠴᠧᠹᠰᠻᠢ^{Лобачевский} ᠮᠠᠨ ᠤ ᠶᠢᠷᠲᠢᠨᠴᠦ ᠳ᠋ᠦ ᠧᠦ᠋ᠻ᠊ᠯᠢᠳ᠋^Euclid  ‍ᠦᠨ ᠬᠠᠪᠲᠠᠭᠠᠢ ᠭᠧᠣᠮᠧᠲ᠋ᠧᠷ^geometry᠂ ᠮᠤᠷᠤᠶ᠋ᠢᠯᠲᠠ ᠲᠠᠢ ᠭᠧᠣᠮᠧᠲ᠋ᠧᠷ ᠬᠣᠶᠠᠷ  ᠤᠨ ᠠᠯᠢ ᠨᠢ ᠪᠣᠳᠠ ᠲᠠᠢ ᠲᠣᠬᠢᠷᠠᠬᠤ ᠪᠤᠢ ᠭᠡᠰᠡᠨ ᠠᠰᠠᠭᠤᠯᠲᠠ ᠳᠡᠪᠰᠢᠭᠦᠯᠵᠡᠢ᠃^[1]
ᠡᠭᠦᠪᠡᠷ ‍ᠢᠢᠡᠨ ᠧᠦ᠋ᠻ᠊ᠯᠢᠳ᠋  ‍ᠦᠨ ᠪᠤᠰᠤ ᠭᠧᠣᠮᠧᠲ᠋ᠧᠷ ‍ᠢ ᠦᠨᠳᠦᠰᠦᠯᠡᠵᠦᠬᠦᠢ᠃

ᠠᠻᠰᠢᠣᠮ

D ᠰᠢᠯᠤᠭᠤᠨ ᠲᠠᠢ ᠫᠠᠷᠠᠯᠯᠧᠯ^parallel ᠠᠭᠠᠳ M ᠴᠡᠭ ‍ᠢᠢᠡᠷ ᠳᠠᠭᠠᠷᠢᠬᠤ d1᠂ d2᠂ d3 ᠲᠡᠢ ᠠᠳᠠᠯᠢ ᠬᠢᠵᠠᠭᠠᠷ ᠦᠭᠡᠢ ᠣᠯᠠᠨ ᠰᠢᠯᠤᠭᠤᠨ ᠪᠠᠢᠢᠨ᠎ ‍ᠠ᠋

ᠲᠤᠬᠠᠢ ‍ᠢᠢᠨ ᠰᠢᠯᠤᠭᠤᠨ ᠪᠠ ᠲᠡᠭᠦᠨ ᠳ᠋ᠤ ᠦᠯᠦ ᠬᠠᠷᠢᠶᠠᠯᠠᠭᠳᠠᠬᠤ ᠴᠡᠭ ‍ᠦᠨ ᠣᠷᠣᠰᠢᠵᠤ ᠪᠠᠢᠢᠭ᠎ ‍ᠠ᠋ ᠬᠠᠪᠲᠠᠭᠠᠢ ᠳ᠋ᠤ ᠲᠡᠷᠡ ᠴᠡᠭ ‍ᠢᠢ ᠳᠠᠭᠠᠷᠢᠭᠤᠯᠤᠨ ᠲᠤᠬᠠᠢ ‍ᠢᠢᠨ ᠰᠢᠯᠤᠭᠤᠨ ᠲᠠᠢ ᠦᠯᠦ ᠣᠭᠲᠤᠯᠤᠯᠴᠠᠬᠤ ᠨᠢᠭᠡ ᠡᠴᠡ ᠣᠯᠠᠨ ᠰᠢᠯᠤᠭᠤᠨ ᠲᠠᠲᠠᠵᠤ ᠪᠣᠯᠤᠨ᠎ ‍ᠠ᠋᠃^[2]

ᠡᠨᠡ ᠪᠣᠯ ᠯᠣᠪᠠᠴᠧᠹᠰᠻᠢ ‍ᠢᠢᠨ ᠳᠡᠪᠰᠢᠭᠦᠯᠦᠭᠰᠡᠨ ᠫᠣᠰᠲ᠋ᠦ᠋ᠯᠠᠲ^postulate᠃

ᠡᠭᠦᠨ ‍ᠢ ᠧᠦ᠋ᠻ᠊ᠯᠢᠳ᠋ ‍ᠦᠨ 5 ᠳ᠋ᠤᠭᠠᠷ ᠫᠣᠰᠲ᠋ᠦ᠋ᠯᠠᠲ ‍ᠤᠨ ᠣᠷᠤᠨ ᠳ᠋ᠤ ᠰᠠᠨᠠᠯ ᠪᠣᠯᠭᠠᠭᠰᠠᠨ ᠪᠢᠯᠡ᠃

ᠧᠦ᠋ᠻ᠊ᠯᠢᠳ᠋ ‍ᠦᠨ 5 ᠳ᠋ᠤᠭᠠᠷ ᠫᠣᠰᠲ᠋ᠦ᠋ᠯᠠᠲ ᢩᠪᠤᠶᠤ ᠠᠻᠰᠢᠣᠮ ᠨᠢ᠄

ᠲᠤᠬᠠᠢ ‍ᠢᠢᠨ ᠰᠢᠯᠤᠭᠤᠨ ᠪᠠ ᠲᠡᠭᠦᠨ ᠳ᠋ᠤ ᠦᠯᠦ ᠬᠠᠷᠢᠶᠠᠯᠠᠭᠳᠠᠬᠤ ᠴᠡᠭ ‍ᠦᠨ ᠣᠷᠣᠰᠢᠵᠤ ᠪᠠᠢᠢᠭ᠎ ‍ᠠ᠋ ᠬᠠᠪᠲᠠᠭᠠᠢ ᠳ᠋ᠤ ᠲᠡᠷᠡ ᠴᠡᠭ ‍ᠢᠢ ᠳᠠᠭᠠᠷᠢᠭᠤᠯᠤᠨ ᠲᠤᠬᠠᠢ ‍ᠢᠢᠨ ᠰᠢᠯᠤᠭᠤᠨ ᠲᠠᠢ ᠫᠠᠷᠠᠯᠯᠧᠯ ᠭᠠᠭᠴᠠ ᠪᠥᠭᠡᠳ ᠵᠥᠪᠬᠡᠨ ᠭᠠᠭᠴᠠ ᠰᠢᠯᠤᠭᠤᠨ ᠲᠠᠲᠠᠵᠤ ᠪᠣᠯᠤᠨ᠎ ‍ᠠ᠋

ᠭᠡᠵᠦ ᠲᠣᠮᠢᠶᠠᠯᠠᠭᠳᠠᠳᠠᠭ᠃

ᠯᠣᠪᠠᠴᠧᠡᠰᠻᠢ ‍ᠢᠢᠨ ᠭᠧᠣᠮᠧᠲ᠋ᠧᠷ ᠨᠢ ᠧᠦ᠋ᠻ᠊ᠯᠢᠳ᠋ ‍ᠦᠨ ᠭᠧᠣᠮᠧᠲ᠋ᠧᠷ ‍ᠦᠨ ᠡᠨᠡ ᠠᠻᠰᠢᠣᠮ ᠡᠴᠡ ᠪᠤᠰᠤᠳ ᠰᠠᠭᠤᠷᠢ ᠦᠵᠡᠯ ᠪᠠᠷᠢᠮᠲᠠᠯᠠᠯ ‍ᠤᠳ ᠳᠡᠭᠡᠷ ‍ᠡ᠋ ᠦᠨᠳᠦᠰᠦᠯᠡᠭᠰᠡᠨ ᠪᠠᠢᠢᠳᠠᠭ᠃^[3]

ᠮᠥᠷᠳᠡᠯᠭᠡ

ᠬᠠᠪᠲᠠᠭᠠᠢ ᠪᠤᠰᠤ ᠭᠠᠳᠠᠷᠭᠤ ‍ᠳᠠᠬᠢ ᠭᠤᠷᠪᠠᠯᠵᠢᠨ

ᠯᠣᠪᠠᠴᠡᠹᠰᠻᠢ ‍ᠢᠢᠨ ᠵᠠᠷᠢᠮ ᠲᠾᠧᠣᠷᠧᠮ ‍ᠦᠳ ᠨᠢ ᠧᠦ᠋ᠻ᠊ᠯᠢᠳ᠋ ‍ᠦᠨ ᠬᠠᠷᠠᠭᠠᠯᠵᠠᠬᠤ ᠲᠾᠧᠣᠷᠧᠮ ‍ᠦᠳ ᠡᠴᠡ ᠢᠯᠭᠠᠭ᠎ ‍ᠠ᠋ ᠲᠠᠢ ᠠᠵᠡᠢ᠃

ᠨᠢᠭᠡᠨ ᠲᠾᠧᠣᠷᠧᠮ ᠨᠢ ᠭᠤᠷᠪᠠᠯᠵᠢᠨ ‍ᠤ $\alpha$ ᠂ $\beta$ ᠂ $\gamma$ ᠥᠨᠴᠦᠭ ‍ᠦᠳ ‍ᠦᠨ ᠨᠡᠢᠢᠯᠡᠪᠦᠷᠢ ᠲᠡᠭᠰᠢ ᠬᠣᠶᠠᠷ ᠥᠨᠴᠦᠭ ᠡᠴᠡ ᠢᠮᠠᠭᠲᠠ ᠪᠠᠭ᠎ ‍ᠠ᠋ ᠪᠠᠢᠢᠨ᠎ ‍ᠠ᠋ ᠭᠡᠳᠡᠭ᠃

ᠲᠡᠭᠰᠢ ᠥᠨᠴᠦᠭ ᠪᠠ ᠭᠤᠷᠪᠠᠯᠵᠢᠨ ‍ᠤ ᠥᠨᠴᠦᠭ ‍ᠦᠳ ‍ᠦᠨ ᠨᠡᠢᠢᠯᠡᠪᠦᠷᠢ ‍ᠢᠢᠨ ᠢᠯᠭᠠᠭ᠎ ‍ᠠ᠋ ‍ᠢᠢ ᠭᠤᠷᠪᠠᠯᠵᠢᠨ ‍ᠤ ᠳ᠋ᠧᠹᠧᠻᠲ ᠭᠡᠨ᠎ ‍ᠡ᠋᠃^[4]

ᠭᠤᠷᠪᠠᠯᠵᠢᠨ ‍ᠤ ᠲᠠᠯᠠᠪᠠᠢ ᠨᠢ ᠳᠠᠷᠠᠭᠠᠬᠢ ᠪᠠᠢᠢᠳᠠᠯ ‍ᠢᠢᠠᠷ ᠲᠣᠭᠠᠴᠠᠭᠠᠯᠠᠭᠳᠠᠨ᠎ ‍ᠠ᠋᠄

$S=(\pi -\alpha -\beta -\gamma )({\frac {1}{\sqrt {-K}}})^{2}{}{}\!$

ᠡᠭᠦᠨ ᠳ᠋ᠦ K ᠨᠢ ᠭᠠᠦ᠋ᠰᠰ^Gauss ‍ᠤᠨ ᠮᠤᠷᠤᠢᠢᠯᠲᠠ ᠭᠡᠳᠡᠭ᠃ ᠡᠨᠡ ᠨᠢ ᠲᠤᠬᠠᠢᠢ ‍ᠢᠢᠨ ᠴᠡᠭ ‍ᠦᠨ ᠣᠷᠴᠢᠮ ᠳ᠋ᠠᠬᠢ ᠭᠠᠳᠠᠷᠭᠤ᠎ ‍ᠢᠢᠨ ᠮᠤᠷᠦᠢᠢᠯᠲᠠ ‍ᠢᠢᠨ ᠬᠡᠮᠵᠢᠶ ‍ᠡ᠋ ᠶᠤᠮ᠃

ᠪᠠᠰᠠ ᠨᠢᠭᠡ ᠮᠥᠷᠳᠡᠯᠭᠡ ᠨᠢ "ᠬᠣᠶᠠᠷ ᠲᠥᠰᠦᠲᠠᠢ ᠭᠤᠷᠪᠠᠯᠵᠢᠨ ‍ᠣ ᠲᠠᠯᠠᠪᠠᠢ ᠲᠡᠩᠴᠡᠭᠦᠦ ᠪᠠᠢᠢᠨ᠎ ‍ᠠ᠋" ᠬᠡᠮᠡᠨ᠎ ‍ᠡ᠋᠃ ᠥᠭᠡᠷ ‍ᠡ᠋ ‍ᠢᠢᠡᠷ ᠬᠡᠯᠡᠪᠡᠯ ᠲᠥᠰᠦᠲᠠᠢ ᠭᠤᠷᠪᠠᠯᠵᠢᠨ ᠨᠤᠭᠤᠳ ᠻᠣᠨ᠍ᠭ᠌ᠷᠦ᠋ᠧᠨ᠍ᠲ^congruent ᠪᠠᠢᠢᠨ᠎ ‍ᠠ᠋᠃

ᠡᠨᠡ ᠮᠡᠲᠦ ᠪᠡᠷ ᠯᠣᠪᠠᠴᠧᠹᠰᠻᠢ ‍ᠢᠢᠨ ᠭᠧᠣᠮᠧᠲ᠋ᠧᠷ ‍ᠦᠨ ᠮᠥᠷᠳᠡᠯᠭᠡ ᠨᠦᠭᠦᠳ ᠬᠡᠳᠦᠢ ᠡᠲᠡᠭᠡᠳ ᠭᠠᠵᠢ᠂ ᠫᠠᠷᠠᠳᠣᠻᠰ^paradox ᠶᠤᠮ ᠰᠢᠭ ᠪᠣᠯᠪᠠᠴᠤ ᠤᠯᠠᠮᠵᠢᠯᠠᠯᠲᠤ ᠭᠧᠣᠮᠧᠲ᠋ᠧᠷ ᠲᠡᠢ ᠪᠦᠷᠢᠨ ᠠᠳᠠᠯᠢ ᠵᠢᠨᠳᠠ ᠲᠡᠢ ᠠᠵᠡᠢ᠃

ᠰᠢᠨ᠎ ‍ᠡ᠋ ᠭᠧᠣᠮᠧᠲ᠋ᠧᠷ ᠨᠢ ᠣᠷᠤᠨ ᠵᠠᠢ ‍ᠢᠢᠨ ᠮᠥᠨ ᠴᠢᠨᠠᠷ ‍ᠤᠨ ᠲᠤᠬᠠᠢ ᠣᠢᠢᠯᠠᠭᠠᠯᠲᠠ ‍ᠳᠤ ᠰᠠᠭᠤᠷᠢ ᠥᠭᠡᠷᠡᠴᠢᠯᠡᠯᠲᠡ ‍ᠢᠢ ᠠᠪᠴᠢᠷᠠᠭᠰᠠᠨ ᠪᠠᠢᠢᠨ᠎ ‍ᠠ᠋᠃

ᠠᠴᠢ ᠬᠣᠯᠪᠤᠭᠳᠠᠯ

ᠯᠣᠪᠠᠴᠧᠹᠰᠻᠢ ‍ᠢᠢᠨ ᠭᠧᠣᠮᠧᠲ᠋ᠧᠷ ᠨᠢ ᠤᠯᠨᠮᠵᠢᠯᠠᠯᠲᠤ ᠭᠧᠣᠮᠧᠲ᠋ᠧᠷ ᠡᠴᠡ ᠥᠭᠡᠷ ‍ᠡ᠋ ᠭᠧᠣᠮᠧᠲ᠋ᠧᠷ ᠪᠠᠢᠢᠵᠤ ᠪᠣᠯᠬᠤ ‍ᠢᠢ ᠦᠵᠡᠭᠦᠯᠦᠭᠰᠡᠨ ᠨᠡᠭᠡᠭᠡᠯᠲᠡ ᠪᠠᠢᠢᠵᠡᠢ᠃

ᠶᠢᠷᠲᠢᠨᠴᠦ᠂ ᠣᠷᠤᠨ ᠵᠠᠢ ᠰᠢᠯᠤᠭᠤᠨ ᠲᠡᠭᠰᠢ ᠪᠠᠢᠢᠬᠤ ᠠᠯᠪᠠ ᠦᠭᠡᠢ᠂ ᠲᠡᠭᠰᠢ ᠣᠷᠤᠨ ᠵᠠᠢ ᠨᠢ ᠶᠢᠷᠲᠢᠨᠴᠦ ‍‍ᠢᠢᠨ ᠣᠷᠤᠨ ᠵᠠᠢ ‍ᠢᠢᠨ ᠨᠢᠭᠡ ᠯᠡ ᠲᠣᠬᠢᠶᠠᠯᠳᠤᠯ ᠠᠵᠡᠢ᠃

ᠯᠣᠪᠠᠴᠧᠹᠰᠻᠢ ‍ᠢᠢᠨ ᠭᠧᠣᠮᠧᠲ᠋ᠧᠷ 1826 ᠣᠨ ‍ᠳᠤ ᠪᠦᠲᠦᠭᠡᠭᠳᠡᠭᠰᠡᠨ ᠪᠠᠢᠢᠨ᠎ ‍ᠠ᠋᠃

ᠬᠣᠷᠢᠳᠤᠭᠠᠷ ᠵᠠᠭᠤᠨ ᠭᠠᠷᠴᠤ᠂ ᠬᠠᠷᠢᠴᠠᠩᠭᠤᠢ ‍ᠢᠢᠨ ᠣᠨᠤᠯ ᠨᠡᠭᠡᠭᠡᠭᠳᠡᠭᠰᠡᠨ ‍ᠢᠢᠡᠷ ᠯᠣᠪᠠᠴᠧᠰᠻᠢ ‍ᠢᠢᠨ ᠭᠧᠣᠮᠧᠲ᠋ᠧᠷ ᠪᠠ ᠧᠦ᠋ᠻ᠊ᠯᠢᠳ᠋ ‍ᠦᠨ ᠪᠢᠰᠢ ᠪᠤᠰᠤᠳ ᠭᠧᠣᠮᠧᠲ᠋ᠧᠷ ‍ᠦᠳ ᠮᠠᠲ᠋ᠾᠧᠮᠠᠲ᠋ᠢᠭ^mathematic ᠬᠡᠶ᠋ᠢᠰᠪᠦᠷᠢᠯᠡᠯ ᠲᠡᠳᠦᠢ ᠪᠢᠰᠢ ᠭᠡᠳᠡᠭ ᠨᠢ ᠨᠣᠲᠠᠯᠠᠭᠳᠠᠭᠰᠠᠨ᠃

ᠧᠦ᠋ᠻ᠊ᠯᠢᠳ᠋ ‍ᠦᠨ ᠪᠤᠰᠤ ᠭᠧᠣᠮᠧᠲ᠋ᠧᠷ ᠹᠢᠽᠢᠻ ᠲᠦ ᠰᠢᠭᠤᠳ ᠬᠡᠷᠡᠭᠯᠡᠭᠡ ‍ᠢ ᠪᠡᠨ ᠣᠯᠤᠭᠰᠠᠨ᠃

ᠬᠠᠷᠢᠴᠠᠩᠭᠤᠢ ‍ᠢᠢᠨ ᠣᠨᠤᠯ ᠳ᠋ᠤ ᠲᠤᠰᠬᠠᠭᠳᠠᠭᠰᠠᠨ ᠣᠷᠤᠨ ᠵᠠᠢ ᠴᠠᠭ ᠬᠤᠭᠤᠴᠠᠭᠠᠨ ‍ᠤ ᠬᠠᠷᠢᠯᠴᠠᠨ ᠰᠢᠲᠦᠯᠴᠡᠭᠡ ᠯᠣᠪᠠᠴᠡᠹᠰᠻᠢ ‍ᠢᠢᠨ ᠭᠧᠣᠮᠧᠲ᠋ᠧᠷ ᠲᠦ ᠰᠢᠭᠤᠳ ᠬᠠᠮᠢᠶᠠᠷᠤᠯ ᠲᠠᠢ ᠪᠠᠢᠢᠨ᠎ ‍ᠠ᠋᠃

ᠵᠢᠱᠢᠶᠡᠯᠡᠪᠡᠯ᠂ ᠰᠡᠭᠦᠯ ‍ᠦᠨ ᠦᠶ ‍ᠡ᠋ ‍ᠢᠢᠨ ᠰᠢᠨ᠍ᠻᠷᠣᠫᠾᠠᠰᠣᠲ᠋ᠷᠣᠨ᠍^{synchrophasotron} ᠬᠤᠷᠳᠤᠰᠬᠠᠭᠴᠢᠨ ᠨᠤᠭᠤᠳ ‍ᠤᠨ ᠲᠣᠭᠠᠴᠠᠭᠠᠨ ᠳ᠋ᠤ ᠯᠣᠪᠠᠴᠧᠹᠰᠻᠢ ‍ᠢᠢᠨ ᠭᠧᠣᠮᠧᠲ᠋ᠧᠷ ‍ᠦᠨ ᠲᠡᠭᠰᠢᠳᠬᠡᠯ ‍ᠦᠳ ‍ᠢ ᠠᠰᠢᠭᠯᠠᠳᠠᠭ ᠪᠠᠢᠢᠨ᠎ ‍ᠠ᠋᠃^[5]

ᠨᠡᠷ ‍ᠡ᠋ ᠲᠣᠮᠢᠶᠠᠯᠠᠯ

ᠾᠢᠫᠧᠷᠪᠣᠯ ᠭᠧᠣᠮᠧᠲ᠋ᠧᠷ - hyperbolic geometry - гиперболическая геометрия

ᠯᠣᠪᠠᠴᠧᠹᠰᠻᠢ ‍ᠢᠢᠨ ᠭᠧᠣᠮᠧᠲ᠋ᠧᠷ - Bolyai–Lobachevskian geometry - геометрия Лобачевского
ᠧᠦ᠋ᠻ᠊ᠯᠢᠳ᠋  ᠦᠨ ᠭᠧᠣᠮᠧᠲ᠋ᠧᠷ - Euclidean geometry - евклидова геометрия
ᠧᠦ᠋ᠻ᠊ᠯᠢᠳ᠋  ᠦᠨ ᠪᠤᠰᠤ ᠭᠧᠣᠮᠧᠲ᠋ᠧᠷ - non-Euclidean geometry - неевклидова геометрия
ᠴᠡᠭ - point - точка
ᠰᠢᠯᠤᠭᠤᠨ - line - прямая
ᠢᠯᠡᠳᠲᠡ ᠦᠨᠡᠨ - axioma - аксиома^[6]

ᠳᠠᠯᠳᠠ ᠦᠨᠡᠨ - postulate - постулат^[6]

ᠮᠠᠭᠠᠳᠯᠠᠬᠤ ᠦᠨᠡᠨ - theorem - теорема^[6]

ᠤᠶᠠᠯᠳᠤᠭ᠎ ‍ᠠ᠋ ᠨᠡᠢᠢᠲᠡᠯᠡᠯ

ᠧᠦ᠋ᠻ᠊ᠯᠢᠳ᠋ ᠊ᠦᠨ ᠭᠧᠣᠮᠧᠲ᠋ᠧᠷ
ᠷᠢᠮᠠᠨ ᠊ᠤ ᠭᠧᠣᠮᠧᠲ᠋ᠧᠷ

ᠡᠬᠢ ᠰᠤᠷᠪᠤᠯᠵᠢ

↑ Орон зайн муруйлт ба цаг хугацааны гажилт᠃ ᠬᠠᠨᠳᠤᠭᠰᠠᠨ 2021/02/18
↑ Хоёр зэрэгцээ шугам огтлолцох үед᠃ ᠬᠠᠨᠳᠤᠭᠰᠠᠨ 2021/02/18
↑ Andrew G. Bennett. Hyperbolic Geometry - Triangles, Angles, and Area. ᠬᠠᠨᠳᠤᠭᠰᠠᠨ 2021/02/20
↑ Где пересекаются две параллельные прямые. Сколько параллельных прямых в геометрии Лобачевского. ᠬᠠᠨᠳᠤᠭᠰᠠᠨ 2021/02/20
↑ ^6.0 ^6.1 ^6.2 ᠡ᠊᠂ ᠸᠠᠩᠳᠤᠢ᠃ ᠣᠷᠤᠰ-ᠮᠣᠩᠭᠤᠯ ᠨᠡᠷ ‍ᠡ᠋ ᠲᠣᠮᠢᠶᠠᠨ ‍ᠤ ᠲᠣᠯᠢ᠃ ᠡᠷᠬᠢᠯᠡᠭᠰᠡᠨ ᠪ᠊᠃ ᠰᠣᠳᠨᠠᠮ᠃ ᠬᠡᠯᠡ ᠵᠣᠬᠢᠶᠠᠯ ‍ᠤᠨ ᠬᠦᠷᠢᠶᠡᠯᠡᠩ᠃ ᠤᠯᠤᠰ ‍ᠤᠨ ᠬᠡᠪᠯᠡᠯ ‍ᠦᠨ ᠬᠡᠷᠡᠭ ᠡᠷᠬᠢᠯᠡᠬᠦ ᠬᠣᠷᠢᠶ ‍ᠠ᠋᠃ ᠤᠯᠠᠭᠠᠨᠪᠠᠭᠠᠲᠤᠷ 1964 ᠣᠨ᠃

[1] Орон зайн муруйлт ба цаг хугацааны гажилт᠃ ᠬᠠᠨᠳᠤᠭᠰᠠᠨ 2021/02/18

[2] Хоёр зэрэгцээ шугам огтлолцох үед᠃ ᠬᠠᠨᠳᠤᠭᠰᠠᠨ 2021/02/18

[3] А.М.Прохоров и др. Советский энциклопедический словарь. ©Издательство “Советская энциклопедия”. Москва 1989

[4] Andrew G. Bennett. Hyperbolic Geometry - Triangles, Angles, and Area. ᠬᠠᠨᠳᠤᠭᠰᠠᠨ 2021/02/20

[5] Где пересекаются две параллельные прямые. Сколько параллельных прямых в геометрии Лобачевского. ᠬᠠᠨᠳᠤᠭᠰᠠᠨ 2021/02/20

[:0-6] 6.0 ^6.1 ^6.2 ᠡ᠊᠂ ᠸᠠᠩᠳᠤᠢ᠃ ᠣᠷᠤᠰ-ᠮᠣᠩᠭᠤᠯ ᠨᠡᠷ ‍ᠡ᠋ ᠲᠣᠮᠢᠶᠠᠨ ‍ᠤ ᠲᠣᠯᠢ᠃ ᠡᠷᠬᠢᠯᠡᠭᠰᠡᠨ ᠪ᠊᠃ ᠰᠣᠳᠨᠠᠮ᠃ ᠬᠡᠯᠡ ᠵᠣᠬᠢᠶᠠᠯ ‍ᠤᠨ ᠬᠦᠷᠢᠶᠡᠯᠡᠩ᠃ ᠤᠯᠤᠰ ‍ᠤᠨ ᠬᠡᠪᠯᠡᠯ ‍ᠦᠨ ᠬᠡᠷᠡᠭ ᠡᠷᠬᠢᠯᠡᠬᠦ ᠬᠣᠷᠢᠶ ‍ᠠ᠋᠃ ᠤᠯᠠᠭᠠᠨᠪᠠᠭᠠᠲᠤᠷ 1964 ᠣᠨ᠃

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]